問題１について
日本語訳で「２週間」とありますが、two weeksの前にforまたはduringを置いて、その意味を表していきます。
two weeksは単なる期間を表していますので、forを使います。すると、次のような解答になります。
I was in the hospital for two weeks.
（私は２週間入院していました。）
問題２について
問題文は問題１と似ていますが、この問題２では期間を表す語句として、the summer vacationが使われています。
summer vacationは「夏休み」ですが、定冠詞のtheも一緒に使われているように、意味の上では「その夏休み」というように、話し手によって「特定される期間」になります。
そこでduringを使います。すると、次のような解答になります。
I was in the hospital during the summer vacation.
（私は夏休みの間入院していました。）
問題３について
問題文のmy stay in Londonは、「私のロンドン滞在中」という意味になります。
これは特定される期間です。したがって、duringを使います。すると、次のような解答になります。
I came to know him during my stay in London.
（ロンドン滞在中に私は彼を知るようになった。）
問題４について
問題文のten minutesは、「１０分間」という意味ですが、これは特定されるわけではなく、単に時間的長さを表すために使われています。そこで（ ）の中には、forを使います。
すると、次のような解答になります。
Bake the cake for ten minutes.
（１０分間、ケーキを焼いてください。）
