Maryは三人称単数形ですので、hasのほうを使います。使われている動詞はboughtで、buy（買う）の過去形です。
hasの後には過去分詞を置きますが、buyの過去分詞は、過去形と同じ形でboughtです。すると、解答は次のようになります。
Mary has bought a ticket.
（メアリーはチケットを買った。）
問題２について
問題文は次のとおりです。
I lost weight.
主語がIですので、haveのほうを使います。使われている動詞はlostで、lose（失う）の過去形です。
haveの後には過去分詞を置きますが、loseの過去分詞は、過去形と同じ形でlostになります。すると、解答は次のようになります。
I have lost weight.
（私はやせました。）
問題３について
問題文は次のとおりです。
The well went dry.
wellは、名詞で「井戸」という意味があります。
主語はthe wellですので、hasのほうを使います。使われている動詞はwentで、goの過去形です。
hasの後には過去分詞を置きますが、goの過去分詞はgoneになります。すると、解答は次のようになります。
The well has gone dry.
（井戸がかれてしまった。）
問題４について
問題文は次のとおりです。
Did you iron my shirt?
この問題は疑問文になります。
ironは動詞で、「アイロンをかける」という意味を持っています。
主語はyouですので、haveのほうを使います。そのhaveのあとには過去分詞を置きますが、この場合は疑問文ですので、主語とhaveの順序が逆になります。
まずは解答ですが、次のようになります。 Have you ironed my shirt?
（私のシャツにアイロンをかけましたか。）
ironの過去分詞はironedです。これは過去形も同じ形になります。
ここで、たとえば疑問文でない場合は、次のようになります。
You have ironed my shirt.
