each otherとone anotherは、どちらも「お互いに」という意味です。
each otherはeachとotherが一緒になった複合語で、one anotherはoneとanotherが一緒になった複合語です。
「お互いに」という意味から、動詞を副詞として修飾するかのように思われるかもしれませんが、これらは代名詞です。
２つの語が一緒なった複合語の代名詞といえます。
しかし同じ代名詞でも、普通は主語としては使いません。
したがって、動詞の目的語して用いることになります。他動詞であればその後に置きますが、自動詞であればwithなどの前置詞を置いてからその後に置きます。
a. We love each other.
（私達はお互いに愛し合っています。）
b. We talked with each other.
（私達はお互いに語り合いました。）
c. The great powers competed with one another in space development.
（大国はお互いに宇宙開発を競った。）
