d. She is delighted that you are well.
(彼女はあなたが元気なので喜んでいます。)
e. You were lucky that you met her.
(あなたは彼女に会えて運がよかった。)
dはShe is delighted.「彼女は喜んでいます。」の文にthat節を続けている文です。
節とは「主語+動詞」のことをいい、that節は「that+主語+動詞」のことをいいます。
dのthat節はthat you are wellで、「あなたが元気です」という意味ですが、これがShe is delightedの理由や原因として、文の後ろに置かれています。
eも同様な例です。
eのYou were lucky.は「あなたは運がよかった。」という意味の、形容詞の叙述用法の文です。こうなった理由または原因として、that節のthat you met herは「あなたが彼女に会った。」という意味で、その後ろに続いています。