問題1について
解答は次のようになります。 I'd rather you stayed here in case I have to go out.
問題文で、I'd rather you stayed hereまでは同じです。これで「私はあなたにここにいてほしい」という意味になります。
この後が選択をする上での問題になります。まずin caseと続いているのは2つだけです。そこからI have to go outと続いている文を選択します。
I'd rather you stayed here in case I have to go out. で、「もしも私が外出をしなければならないなら、むしろあなたにはここにいてほしい」という意味になります。
また問題文でin case I have to go outとin case of I have to go outの型がありますが、in caseの後には「主語+動詞」が続くことになりますので、in case I have to go outのほうを選ぶことになります。
実はin case ofでも「~の場合には」という意味で使うことができます。ただしこの場合は、「名詞」が後ろに置かれます。
問題2について
解答は次のようになります。 I didn't repeat this in case it was untrue.
問題文で、I didn't repeat thisまでは同じです。これで「私はこれを繰り返しませんでした」という意味になります。
その後でin case it was untrueという順番で続いている文が正しいことになります。これで「もしもそれが不正確だったなら」という意味になります。
I didn't repeat this in case it was untrue. で、「それが不正確だったなら、私はこれを繰り返していませんでした。」という意味になります。
問題3について
解答は次のようになります。 Staff work round the clock in case something goes wrong.
問題文で、Staff work round the clockまでは同じです。これで「職員は時計の周りで働きます」という意味になります。
その後でin case something goes wrongという順番で続く文を選択することになります。「in case+主語+動詞」の型になっています。これで「どこかが故障するといけないから」という意味になります。
Staff work round the clock in case something goes wrong. で、「どこかが故障するといけないから、職員は時計の周りで働きます。」という意味になります。